二十一，解释洛伦兹变换中的光速不变

1，对洛伦兹变换中光速不变的解释

设有两个直角惯性坐标系s系和s'系，任意一事件发生的地点【我们称为考察点p】、时间，在s系、s'系中的时空坐标分别用（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）来表示。

本文重点讨论洛伦兹变换的最简情况，就是考察点p静止在s’系里。

在下图中，

x轴和x'相互重合，在t'= t = 0时刻，s系的原点o 点【s系里的观察者就站在o点上】和s’的原点o’【s’系里观察者就站在o’点上】点相互重合在一起。

随后，o’点相对于o点以匀速度v沿x轴正方向直线运动。

设想在某时刻，发生了一次爆炸事件，在s'系中测量，发生在p点的爆炸事件的空间、时间坐标分别为x',y’,z’和 t'。

也就是爆炸事件发生在t'时刻，发生的地点p在x'轴上的坐标离原点o'距离为x'处。 并且，p点相对于s’系是静止的。

在s系中测量，发生在p点的爆炸事件的空间、时间的坐标分别为x, y,z和t。

也就是爆炸发生在t时刻，其坐标在x轴上离原点o距离为x处。并且，p点相对于s系是以速率v在运动的。

我们来求出发生在p点的一次爆炸事件时间、空间坐标，在两个惯性参考系中坐标值之间的关系。

在上图中，可以直观的看出：

按照伽利略相对性原理的思想，时间、空间长度的测量与观测者的运动速度v没有关系，上式就可以成立，并且t = t’。

但是，相对论认为时间、空间长度的测量与观测者的相互运动速度v有关，空间长度随着速度v的增大而收缩、变小。

在s系里观察者看来，式 中的 要缩短，要乘以一个相对论因子 ，等式才可以成立，所以，有式：

所以有：

在s’系里观察者看来，式 中的x要乘以一个相对论因子 ，才能够成立，所以有式：

所以有：

由于s系相对于s'系是匀速直线运动，因而我们应该合理的认为 和 ，x 和 之间的关系应该是线性的，满足于简单的正比关系。

相对论的相对性原理认为：物理定律在所有的惯性参考系中都是相同或者平权的，不同惯性系的物理方程形式应该是相同的。

所以 (1)、 (2)式可以用一个相同的常数k。

对于k的值，洛伦兹变换用的就是光速不变求出的。

设想由原点o、o'在重合的零时刻发出一束沿x轴正方向前进的光，光速为c。

设该光束的波前【或者叫光子、空间点】p点的时空坐标，在s系里为（x，y，z，t)，在s’系里为(x'，y'，z'，t')。

以该光束的波前【或者叫光子、空间点】p点达到后来所在的位置这一事件作为我们考察的对象。

如果光速c在s系和s'系是相同的，就有

将（1），(2)，(3)， (4)式联合起来，可以导出：

将上边两式相乘可以导出：

再一次导出：

将上式带入（1）式和（2）式，可以得出：

由（5）式和（6）式，消去x’，得出：

由（5）式和（6）式，消去x，得出：

式：

这就是洛伦兹正变换。

式：

就是洛伦兹逆变换。

注意，洛伦兹变换中y和z是不变的。

下面我们用时间物理定义，来解释（3）式和（4）式中的光速不变。

按照前面的时间物理定义。

s’系里的观察着认为，会有一个空间点p【或者叫波前、光子】在零时刻离开o'点【或者o点，因为在零时刻o点和o’点相互重合】，以光速c沿着x’轴【或者x轴，因为x轴和x’轴相互重合】正方向匀速直线运动，经过一段时间t’后，走了x’这么远的路程，到达p点后来所在的位置。所以有

s系里的观察着认为，会有一个空间点p在零时刻离开o点【或者o’点，因为在零时刻o点和o’点相互重合】，沿着x轴【或者x’轴，因为x轴和x’轴相互重合】正方向匀速直线运动，经过一段时间t后，走了x这么远的路程，到达p点后来所在的位置。

以上的时间物理定义告诉我们：时间与观测者周围空间中一个空间点p走过的距离成正比。

所以，s系中的时间t比s’系中的时间t’，等于s系中的空间点走过的路程x比s’系中空间点走过的路程x’，也就是：

将上式作一个变换，

由于x/ t 和 x'/t' 都是位移比时间，量纲是速率，并且 ，所以

所以，以上说明了一定会有一个与时间密切相关的特殊速率【我们用c来表示】，在相互运动的两个观测者看来，c的值是相等的。

以上的时间物理定义只要是正确的，就一定能够证明（3）式和（4）式中的光速c是相等的。

接下来我们用统一场论思想对以上洛伦兹变换做出解读。

（1），洛伦兹变换继承了伽利略变换中s系看s’系以速度v运动，s’系看s系是以速度- v运动。

同一个事情发生的时间、空间位置，在两个惯性系中，在伽利略变换中被认为是不变的，这个被洛伦兹变换否定了。

洛伦兹变换继承了伽利略变换一部分思想，否定了一部分，不是完全的否定。

（2），统一场论认为一切运动形式、物理现象都是我们观察者描述出来的，剔除了我们观察者，谈论物理现象、运动状态是没有意义的。

我们总是默认s’系和s系其中必然有一个惯性参照系是观察者我所在的参考系。

（3），s’系和s系只有我看你是运动的，你看我是运动的，是平权的，不是绝对平权的。

我们总是默认s’系和s系其中只能有一个是我所在的参考系，我所在的参考系是优越的，一切物理量、物理概念都是我描述出来的，只有相对于我才有确定的物理意义，而且，我只有一个。

（4），统一场论认为，描述运动需要存在4个基本条件，一个是空间，一个是时间，包括时间的开始时刻、过程、结束时刻。

一个是观察者，一个是被描述的对象，也就是物体或者由物体运动变化所形成的事件。

4个条件，缺少一个，描述运动是没有意义的。

特殊情况下，被描述的对象和观察者可以是同一个东西，就是描述我们观察者自身的运动，但是，这种描述只是在特殊情况下才有意义，在一般情况下也是没有意义的。

在统一场论中，空间是运动的，描述空间的运动，必须是物体周围的空间，没有物体，或者不指明哪一个物体，描述单纯的空间运动是没有意义的。

所以，在洛伦兹变换中，我们必须：

要明确观察者，确定被描述的对象【由物体或者物体运动形成的事件构成】，确定事件的开始和结束时刻和经历的时间，确定事件发生所在的空间位置，否则可能引起混乱。

（5），s’系和s系虽然不能说哪一个绝对在运动，绝对运动是没有意义的。但是，相对运动【就是相对于某一个确定的观察者在运动】是有意义的。

我们习惯上是把被描述的对象p点【物体或者由物体运动变化所形成的事件】静止所在的系叫s’系，又叫动系，s系叫静系。

有人认为必须要引入第三个系【常用地球表面所在的参考系】对s系和s’进行比较，才可以确定谁是静系，谁是动系。

把我【我是唯一的】引入参考系，则不需要第三个系来比较，也可以区分静系和动系。

（6），当我这个观察者被默认站在s系里【也就是我相对于被观测的对象p点是运动的】，将用到洛伦兹正变换；

当我被默认站在s’系里【也就是我相对于被观测的对象p点是静止的】，将用到洛伦兹逆变换。 

2，解释一个参考系为什么光速不变

我们还有一个问题：就一个参考系来讲，为什么光速也是常数？

这一点可以这样理解，时间完全的等价于观测者周围空间的运动，也就是：

运动的空间 = 时间。

为了在物理上使“运动的空间 = 时间”成立时量纲不发生混乱，我们需要在时间前面乘上不随时间、运动空间变化的一个常数——光速，

运动的空间 = 光速乘以时间。

从数学的角度看，一个变量对自身求导数，结果是1或者常数。

3，在空间点运动方向与速度v垂直的情况下光速不变的解释

可能有人认为光线可以向任意方向跑啊，那空间岂不是也向任意方向跑吗？描述任何运动需有参照物，空间的运动又是参照谁呢？

在统一场论中，物体周围的空间的确是以物体为中心，向四周发散运动。

空间的运动是参照物体的，我们描述空间的运动都是指某个物体周围空间是如何运动的。

特殊情况下，没有物体，我们描述空间的运动是相对我们人的身体。

没有任何物体的情况下，单纯的描述空间的运动是没有意义的。

下面我们再来考虑在空间点运动方向与观察对象的运动速度v垂直的情况下，对光速不变的解释。

在下图中，x轴和x'相互重合，在t'= t = 0时刻，二维直角坐标系s系的原点o 点【s系里的观察者就站在o点上】和二维直角坐标系s’的原点o’【s’系里观察者就站在o’点上】点相互重合在一起。

随后，o’点相对于o点以匀速度V【标量为v】沿x轴正方向直线运动。

设想有一个质点o’一直静止于二维直角坐标系s’系的原点o’上 。

在零时刻，s’系观察者由时间的物理定义，发现一个空间点p从o’点出发，在时间t’内，以光速c沿y’方向走了o’p这么远的路程【所以有 】，走到了p点后来所在的地方，就是图中所标的p点。

空间点p在零时刻出发运动到p点这个事情，在s系的观察者看来，p点在时间t内走了op这么远的路程。

op的路程虽然比o’p远，但是，所有的时间t应该比时间t’要长。

因为，按照时间的物理定义，时间与空间点p相对于观察者走过的路程成正比。所以，有式：

将上式变形得到：

由 得到：

上式就解释了光速为什么会相对于两个相互运动观测者的数值是不变的。

我们再来求出t和t’满足的关系，看看和相对论是否一致。由

可以得到：

可以得到微分形式：

相对论认为，发生了某一个事情，观察者相对于这个事情发生的地点是静止的，也就是事件开始时刻和结束时刻都在同一个地点，测量这个事情所经历的时间是固有时间，也就是以上的t’。

相对论中固有时间最短，这个结果和相对论的结果是一样的。

我们将洛伦兹逆变换

两边对时间t’求导数，得到：

注意，式中的x’不随时间t’变化，因为x’和t’的量都是s’系里观测的，而在s’里，p点的位置x’是静止不动的。

我们将洛伦兹正变换

两边对时间t求导数，得到：

所以，有：

注意，式中的x是考察点p点在s系里的位置，随时间t变化，所以有

以及

因为x和t的量都是s系里观测的，而在s里，考察点p点的位置x是以速度v在运动。

这个结果和以上是一样的。

我们还有一个疑问：

空间点p在y轴上所走过的路程是s系里和s’系里是否相等？

这一切狭义相对论用火车钻山洞的假想试验给出了证明：

设想有一个山洞，外面停一辆火车，车厢高度与洞顶高度相等，现在使火车匀速的开进山洞，运动的火车的高度是否发生变化？

假设火车的高度由于运动变小了，这样，站在地面的观测者认为火车由于运动，高度变小，山洞由于不运动，高度不变，火车肯定顺利的开进山洞。

但是，在火车里面的观测者认为，火车是静止的，因而火车高度不变，山洞是运动的，山洞的高度会降低，火车无法通过山洞，这就发生了矛盾。

但是，火车能否开进山洞是一个确定的物理事实，不应该与观测者的选择有关，唯一合理的观点是：

匀速直线运动不能够使运动垂直方向上的空间长度缩短，同样的道理，也不能伸长，结果是不变。

可能人们还有一个疑问？观测者周围空间有许多空间点，为什么一个空间点的运动就可以表示时间？

这个应该这样理解，时间反映了空间运动的一种性质，我们观测者通过描述空间中许多空间点的其中一个，就可以把空间具有时间这种变化的性质给表现来，这个也表明了，时间不能够脱离观测者而独立存在。

4，光源运动速度 和矢量光速 之间的关系

我们前面引入了矢量光速概念，但没有深入的讨论。

光速能不能看成矢量，相对论中没有深入讨论，按照相对论，光速与光源的运动速度无关，与观测者的选择无关，与时间无关，与空间位置无关，纯粹一个常数。

所以，相对论倾向认为光速不能够看成矢量，换句话，在相对论中讨论光速的矢量性是没有意义的。

光速是常数最早来自于麦克斯韦电磁波波动方程，波动方程中的光速以常数出现。

统一场论提出了与之不同的观点，认为光速在某些情况下可以表现为矢量，其方向和光源的运动速度有着函数关系。

统一场论为了区分，把矢量光速叫光速度，用 表示， 的大小【也就是模c】不变，但是方向可以变化。

光速速率叫光速率，又叫标量光速，用c表示，c不变。

矢量光速 在直角坐标x、y、z轴的分量 ， ， ，大小可以变化，由于标量光速不变，三个分量的平方和始终是光速的平方。

在统一场论中，光源的运动速度 和矢量光速 之间的关系，非常重要，下面我们来探讨这种关系。

我们先考虑一种特殊的情况。

我们令矢量光速 和和光源运动速度 之间的角度为 

我们先来大致判断一下 的标量v和 的取值范围。

从相对论中我们知道，由光速不变可以推导出： 能够引起和 垂直方向的光速的变化，但是，不能引起 平行方向光速的变化。

统一场论中， 的变化只是方向在变化，数量不变。

随着 的增大， 的方向逐渐偏离了原来位置。偏离的角度β稍微大于0时，对应着v 稍微大于 0。偏离的角度β= 90度，对应着的 的数量v 等于光速 c

所以，β值应该是在90度和0度之间， 的数量v的值在0和光速c之间【包含了光速】。

在下图中：

二维直角坐标系s系的原点o和s’系的原点o’在0时刻重合在一起，并且x轴和x’轴也重合在一起。

后来，相互以匀速度 【标量为v】沿着x轴正方向匀速直线运动。

一个质点o一直静止在s’系的原点o’上，现在，s系和s’系的观察者共同来考察一个空间点p 。

p点在零时刻，从o点出发，沿y’轴以光速运动。

如果我们把光看成是光子，这里的质点o是光源，点p就是一个光子，如果把光看成是波，这里的点p就是波前。

在统一场论中，把光看成是激发电子随空间一同运动，即使没有激发电子，或者没有光子，质点o不发光，也不是光源，就是一个普通物体，但周围的空间仍然以矢量光速 向外运动。

后一种情况下，p点就可以看成是空间点，也就是p点表示为o点周围的一小块空间。

s’系的观察者认为p点在零时刻从这个质点o出发，经过了时间t’，走到了p点后来所在的位置上，以矢量光速 走了 这么远的路程。

s系的观察者认为p点在零时刻开始，在时间t内以矢量光速 【数量为c】走了op = ct这么远的路程 。

在上图中可以看出：

消除t，可以得到：

由于 和 之间的角度为 ，有：

由上式可以导出

这个实际上就是相对论因子产生的原因。

对以上分析，可以得出如下看法：

在 的数量v趋近于零的时候， 和矢量光速 垂直这种初始状态下，以后当 的数量v逐渐增大的时候，会导致 逐渐偏离原来的位置，当v趋近于光速度 的数量c的时候， 偏离了90度。

光源运动速度 可以引起 垂直方向矢量光速 的方向发生偏转，还可以用前面的垂直原理的逆定理来解释。

垂直原理告诉我们，空间的垂直状态【90度角】可以导致运动。

其逆定理是：运动又可以导致空间的垂直状态发生倾斜，运动速度达到光速的时候，垂直状态彻底消失【躺平】。

以上公式 或者 可以看成是对垂直原理的一种定量分析。

垂直原理的实质是空间的角度和运动速度有等价性和互补性。

以上只是分析了特殊情况下，矢量光速 和光源运动速度 【标量为v】之间的关系。

揭示它们之间普遍关系，需要矢量光速 在惯性系s’和s系之间变换。

在s’里，矢量光速 的三个分量为： , , ，

在s里，矢量光速 的三个分量为： , , ，

利用相对论的速度正变换【我们以上已经证明洛伦兹变换是正确的，而相对论速度变换是对洛伦兹变换求时间导数得到的，因而相对论速度变换是可以用的】可以导出 的三个分量和 的三个分量满足的关系为：

由以上可以导出：

由此导出矢量光速 和 满足以下关系：

 和 方向不一样，但是，数量是一样的。

以上没有完全讲明白 和 之间的关系，这问题仍然有待人们去探索。

5，推导出相对论的时空间隔不变性

现在设想有两个观察者分别在s系【时空坐标为（x,y,z,t）】和s’系【时空坐标为（x’, y’, z’, t’）】里，s系相对于s’系以速度V沿着x轴正方向运动。

设想在时刻t = t’= 0，s系和s’系的原点o点和o’点重合在一起。一个空间点p在时刻0开始，从o点和o’点出发，经过一段时间到达p点现在所处的位置。

将式

对自身点乘，结果为：

r是矢量 的数量。r反映了在s系里的观察者测量空间点p相对于原点的移动距离。

以上方程在相对论中也出现过，相对论中被认为是四维时空距离。

同样的道理，可以导出在s’系里，观察者测量p点相对于o’点的移动距离:

由 可以导出：

由 可以导出：

由以上方程可以得出时空间隔在相对匀速直线运动的两个惯性系里是不变的。

统一场论认为时空间隔的不变性，本质是时空同一化，时间就是光速运动空间形成的。

6，正确的解释双生子佯缪

按照狭义相对论，运动的时钟走得慢。

于是有人设想，双生子甲和乙一出生时候，甲就乘高速飞船到远方宇宙空间去旅行，双生子乙则留在地球上，经过若干年飞船返回地球。

按地球上的乙看来，甲处于运动之中，甲的生命过程进行得缓慢，则甲比乙年轻；

而按飞船上的甲看来，乙是运动的，则乙比较年轻。

重返相遇的比较，结果应该是唯一的，似乎狭义相对论遇到无法克服的难题。

对双生子佯谬的解释，无论的拥护相对论或是反对相对论的人，解释都比较混乱。

按照统一场论的看法，描述和计算一个运动过程，需要确定观察者，确定开始时刻和地点，以及结束的时刻和地点。

不确定观察者、开始和结束的时刻、地点，讨论运动的结果是没有意义的。

双生子问题中，甲和乙开始分手，到最后甲乙碰面的地点，都在地球上，所以，地球可以作为参考点。

由于甲相对于地球是运动的，所以，甲比乙年轻。乙相对于地球是静止的，乙的时间是固有时。

如果甲和乙诞生于太空中，拥抱在一起，后来，二人分手，没有地球作为参考点？我们怎么判断？

这个时候，需要确定两个人，是哪一个开始加速运动，离开对方的。

这个其实涉及到了一个关于运动的根本问题——物体的运动状态的改变【也就是加速度】是有原因的，物体不会无缘无故的改变运动速度【包括从速度为零的静止状态加速到某一个速度】。也就是本来拥抱在一起的甲、乙二人，不会无缘无故的分开。

设想在某一个时刻，是甲开始加速运动离开了乙，甲转了一圈回来，二人相遇，则甲年轻。

如果在太空中，甲乙二人拥抱在一起，后来相互踹对方一脚，二人都以相同的力，完全相同的踹法，彼此离开，在宇宙空间转一圈后相遇，谁更年轻？

这种情况下，甲乙二人应该是同样的年轻。